Question

17．（1）求證：$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$（a＞3）．
（2）求由曲線y=$\sqrt{x}$，直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明；
（2）利用定積分的幾何意義求封閉圖形的面積．

解答 （1）證明：∵$\sqrt{a}＞\sqrt{a-2}，\sqrt{a-1}＞\sqrt{a-3}$
∴$\sqrt{a}+\sqrt{a-1}＞\sqrt{a-2}+\sqrt{a-3}$
∴$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}＜\frac{1}{\sqrt{a-2}+\sqrt{a-3}}$
∴$\sqrt{a}-\sqrt{a-1}＜\sqrt{a-2}-\sqrt{a-3}$               （6分）
（2）解：聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{y=x-2}\end{array}\right.$得到兩曲線的交點(diǎn)（4，2），
因此由曲線y=$\sqrt{x}$，直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為S=${∫}_{0}^{4}（\sqrt{x}-x+2）dx$=$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}{x}^{2}+{2x}^{\;}{|}_{0}^{4}$=$\frac{16}{3}$                             （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式性質(zhì)的運(yùn)用證明不等式以及利用定積分求封閉圖形的面積．（1）也可以利用分析法證明．（2）關(guān)鍵是利用定積分表示圍成的圖形面積．