Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-bx（a＞0）和g（x）=lnx的圖象有公共點(diǎn)p，且在點(diǎn)p處的切線相同．且已知a=b，求：切點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：設(shè)P（x₀，y₀），則lnx₀=ax₀²-ax₀①，f′（x₀）=g′（x₀），聯(lián)立消掉a可得關(guān)于x₀的方程，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求得唯一x₀值，進(jìn)而可求P的坐標(biāo)．

解答： 解：設(shè)P（x₀，y₀），則lnx₀=ax₀²-ax₀①，
f′（x₀）=g′（x₀），即

1

x0

=2ax₀-a，化簡(jiǎn)得1=2ax₀²-ax₀②
聯(lián)立①②消a得，lnx₀=

x0-1

2x0-1

，
令φ（x）=lnx-

x-1

2x-1

，φ′（x）=

1

x

-

1

(2x-1)2

=

(4x-1)(x-1)

x(2x-1)2

，
由②可得x₀＞

1

2

，
易知φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（1）=0，
所以φ（x）=lnx-

x-1

2x-1

有唯一解1，即x₀=1，
則y₀=f（1）=0，a=1．
故P（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．