Question

在銳角三角形ABC中，

cosA

cosC

=

3 a

2b- 3 c

（1）求A的大小；
（2）求cosB+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，由sinB不為0求出sinA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）由A的度數(shù)求出B+C的度數(shù)，表示出C，代入原式中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求出所求式子的范圍即可．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化簡得：

cosA

cosC

=

3 sinA

2sinB- 3 sinC

，
整理得：2sinBcosA-

3

sinCcosA=

3

sinAcosC，即2sinBcosA=

3

sin（A+C）=

3

sinB，
∵△ABC為銳角三角形，sinB≠0，
∴cosA=

3

2

，
則A=

π

6

；
（2）∵A=

π

6

，∴B+C=

5π

6

，即C=

5π

6

-B，
∴cosB+sinC=cosB+sin（

5π

6

-B）=cosB+

1

2

cosB+

3

2

sinB=

3

2

cosB+

3

2

sinB=

3

（

3

2

cosB+

1

2

sinB）=

3

sin（B+

π

6

），
∵0＜B＜

5π

6

，
∴

π

6

＜B+

π

6

＜π，即0＜

3

sin（B+

π

6

）≤

3

，
則cosB+sinC的取值范圍為（0，

3

]．

點(diǎn)評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．