17.已知f(x+1)=$\frac{{{x^2}+2x}}{x+1}$(x≠-1).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式,并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)求證:f($\frac{1}{x}$)=f(-x);
(Ⅲ)求證:f(x)在(0,+∞)為單調(diào)增函數(shù).

分析 (Ⅰ)利用換元法直接求函數(shù)f(x)的解析式,利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)代入函數(shù)的解析式即可證明f($\frac{1}{x}$)=f(-x);
(Ⅲ)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)x+1=t,則$f(t)=\frac{{{t^2}-1}}{t}$,所以$f(x)=x-\frac{1}{x}$,$f(-x)=-x+\frac{1}{x}=-f(x)$,
所以f(x)為奇函數(shù).
(Ⅱ)證明:$f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}-x=-f(x)$,所以:f($\frac{1}{x}$)=f(-x);
(Ⅲ)證明:設(shè)x1>x2>0,則$f({x_1})-f({x_2})={x_1}-\frac{1}{x_1}-{x_2}+\frac{1}{x_2}$=${x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}═{x_1}-{x_2}+\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}>0$
所以f(x)在(0,+∞)為單調(diào)增函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.

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