Question

【題目】已知函數y=f （x）= ．
（1）求函數f （x）的圖象在x= 處的切線方程；
（2）求y=f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f （x）定義域為（0，+∞），∴f′（x）=

∵f （ ）=﹣e，∴切點為（ ，﹣e）又∵k=f′（ ）=2e2．

∴函數y=f （x）在x= 處的切線方程為：y+e=2e2（x﹣ ），

即y=2e2x﹣3e．

（2）解：令f′（x）=0得：x=e

當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f （x）為增函數；

當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f （x）為減函數．

∴fmax （x）=f （e）=

【解析】（1）先求函數的定義域，然后求出導函數f′（x），求出切點坐標以及f′（ ）即為切線的斜率，在根據點斜式求出切線方程，化成斜截式即可；（2）令f′（x）=0得：x=e，然后將定義域（0，+∞）分成兩部分，分別研究函數在（0，e）與（e，+∞）上的導數符號，從而得到函數的單調性，從而求出最值．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．