Question

20．已知函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$，g（x）=ln|x|+|x|-2，設函數(shù)F（x）=f（x-1）g（x+1），且函數(shù)F（x）的零點都在區(qū)間[a，b]（a＜b，a∈Z，b∈Z）內，則b-a的最小值為（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，求出f（x）的單調區(qū)間，從而求出其零點的范圍，求出f（x-1）的零點所在的范圍；通過討論x的范圍，求出g（x）在（0，+∞）的導數(shù)，得到g（x）的單調區(qū)間，結合函數(shù)的奇偶性求出所有零點所在的區(qū)間，從而求出g（x+1）所在的零點的范圍，進而求出a，b的值，求出答案即可．

解答 解：∵f′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹⁵=$\frac{1{-x}^{2016}}{1+x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜1且x≠-1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（-∞，-1）遞遞增，在（-1，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
而f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2016}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）內有零點，
f（1）=1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）＞0，
f（2）=1-2³（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）-2⁵（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）-2⁷（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）-…-2²⁰¹⁵（$\frac{1}{1008}$-$\frac{1}{2015}$）＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內有零點，
故函數(shù)f（x）在（-1，2）有2個零點，
∴-1＜x-1＜2，∴0＜x＜3；
g（x）=ln|x|+|x|-2，
當x＞0時，g（x）=lnx+x-2，g′（x）=$\frac{1}{x}$+1＞0，
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
而g（1）=-1＜0，g（2）=ln2＞0，
∴x＞0時，g（x）在（1，2）存在唯一零點，
∵g（x）是偶函數(shù)，
∴g（x）在（-∞，0）遞減，
而g（-1）=-1＜0，g（-2）=ln2＞0，
∴x＜0時，g（x）在（-2，-1）存在唯一零點，
∴g（x）在（-2，2）存在零點．
∴-2＜x＜2，∴-2＜x+1＜2，即-3＜x＜1，
綜上-3＜x＜3，
∴a=-3，b=3，b-a=6，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查函數(shù)的奇偶性問題，考查導數(shù)的應用以及數(shù)列求和問題，是一道綜合題．