Question

13．設(shè)$max\{a，b\}=\left\{{\begin{array}{l}a&{（a≥b）}\\ b&{（a＜b）}\end{array}}\right.$，已知x，y∈R，m+n=6，則F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得F≥|x²-4y+m|，F(xiàn)≥|y²-2x+n|，相加，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和配方方法，可得最小值．

解答 解：F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}，
可得F≥|x²-4y+m|，F(xiàn)≥|y²-2x+n|，
即有2F≥|x²-4y+m|+|y²-2x+n|
≥|x²-4y+m+y²-2x+n|
=|x²-2x+y²-4y+6|
=|（x-1）²+（y-2）²+1|≥1，
即有2F≥1，
即F≥$\frac{1}{2}$，
可得x=1，y=2時(shí)，F(xiàn)取得最小值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和配方思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．