Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=ln（n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=e^a_n（e為自然對數(shù)的底數(shù)），定義：$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃…b_n，求$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1求得a₁，當(dāng)n≥2，由a_n=S_n-S_n-1，代入驗證當(dāng)n=1是否成立，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）求得數(shù)列{b_n}通項公式，根據(jù)新定義即可求得$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k的值．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=ln2；
當(dāng)n≥2且n∈N^*時，
a_n=S_n-S_n-1=ln（n+1）-lnn，
=ln$\frac{n+1}{n}$，
a₁=ln2，等式成立，
∴a_n=ln$\frac{n+1}{n}$，
（2）b_n=e^a_n=$\frac{n+1}{n}$，
$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=$\frac{2}{1}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{4}{3}$×…×$\frac{n+1}{n}$=n+1，
∴$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=n+1．

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式的方法，考查數(shù)列應(yīng)用，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．