Question

15．已知f（x）=x²+bx+c（b，c∈R，b＜0）．
（1）若f（x）的定義域為[0，1]時，值域也是[0，1]，求b，c的值；
（2）若b=-2時，若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$對任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，試求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論對稱軸x=-$\frac{2}$ 在區(qū)間[0，1]的位置關(guān)系，列出等式，解出a，b；
（2）若b=-2時，若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$對任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，即可轉(zhuǎn)化為：即c＜$\frac{{x}^{2}-2x}{x-1}$對x∈[3，5]恒成立．

解答 解：（1）二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的對稱軸是x=-$\frac{2}$，開口向上   
①當0＜-$\frac{2}$≤$\frac{1}{2}$，即-1≤b＜0
$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{2}）=0}\\{f（1）=1}\end{array}\right.$ 解得b=-4，c=4，不合題意；
②當$\frac{1}{2}$$＜-\frac{2}＜1$，即-2＜b＜-1；
$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{2}）=0}\\{f（0）=1}\end{array}\right.$解得b=-2，c=1，不符合，舍去．          
③當-$\frac{2}≥1$，即b≤2   $\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1}\\{f（1）=0}\end{array}\right.$ 解得b=-2，c=1，符合． 
∴b=-2，c=1                                     
（2）若b=-2時，若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$對任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，
即$\frac{{x}^{2}-2x+c}{x}＞c$對x∈[3，5]恒成立，
即x²-（2+c）x+c＞0對x∈[3，5]恒成立．                     
即c＜$\frac{{x}^{2}-2x}{x-1}$對x∈[3，5]恒成立，c＜（x-1）-$\frac{1}{x-1}$
令h（x）=（x-1）-$\frac{1}{x-1}$，h（x）在x∈[3，5]為單調(diào)遞增函數(shù)
∴h（x）_min=h（3）=$\frac{3}{2}$∴c＜$\frac{3}{2}$

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，分離參數(shù)法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬中等題．