Question

5．已知α∈（0，$\frac{\;π\(zhòng);}{2}$），β∈（$\frac{\;π\(zhòng);}{2}$，π），cosα=$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，則cosβ=$-\frac{{4+6\sqrt{2}}}{15}$．

Answer 1

分析 利用α的取值范圍和cos²α+sin²α=1求得sinα的值．然后結(jié)合兩角和與差的余弦函數(shù)公式來(lái)求cosβ的值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{\;π\(zhòng);}{2}$），β∈（$\frac{\;π\(zhòng);}{2}$，π），
∴sinα＞0．cosβ＜0，sinβ＞0．
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosβ+$\frac{1}{3}$×$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=-$\frac{3}{5}$，
解得cosβ=$-\frac{{4+6\sqrt{2}}}{15}$．
故答案是：$-\frac{{4+6\sqrt{2}}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式的運(yùn)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．