Question

1．已知點(diǎn)A（0，2），拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，射線(xiàn)FA與拋物線(xiàn)C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)N，$\frac{|FM|}{|MN|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E（-4，0）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，試判斷直線(xiàn)P′Q是否恒過(guò)一定點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合三角函數(shù)及條件建立方程，求出p，即可求拋物線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）由題意知，直線(xiàn)l斜率必不為0，則設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my-4，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出直線(xiàn)方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為|MM′|，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)B，則由拋物線(xiàn)的定義知，|MM′|=|MF′|，
又因?yàn)?\frac{|FM|}{|MN|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以cos∠NMM′=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
而cos∠OFA=$\frac{|OF|}{|AF|}$=$\frac{\frac{p}{2}}{\sqrt{\frac{{p}^{2}}{4}+4}}$，所以$\frac{\frac{p}{2}}{\sqrt{\frac{{p}^{2}}{4}+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解之得p=2，
故拋物線(xiàn)C的方程為：y²=4x．
（Ⅱ）由題意知，直線(xiàn)l斜率必不為0，則設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my-4，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），P′（x₁，-y₁） （x₁≠x₂）．
由直線(xiàn)代入拋物線(xiàn)方程，消y整理得y²-4my+16=0，
則△=16m²-64＞0，即|m|＞2．y₁+y₂=4m，y₁y₂=16．
直線(xiàn)P′Q：y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂）=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$（x-4）
所以，直線(xiàn)P′Q恒過(guò)定點(diǎn)（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的方程，考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．