Question

12．已知點P、A、B都在圓 x²+y²=r²上，其中點P的坐標是（1，1），直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₂，且k₁•k₂=1．
（1）證明：△PAB是等腰三角形；
（2）證明：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）證明圓心到直線PA，PB的距離相等，即可證明結(jié)論；
（2）由（1）可得OP⊥AB，即可證明結(jié)論，

解答 證明：（1）設P的坐標是（1，1），在圓 x²+y²=r²上，∴r=$\sqrt{2}$．
∵直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₂，k₁•k₂=1，
∴PA：y-1=k₁（x-1），∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-{k}_{1}+1|}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$，
以$\frac{1}{{k}_{1}}$代入，d′=$\frac{|-{k}_{1}+1|}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$，即圓心到直線PA，PB的距離相等，
∴PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形；
（2）由（1）可得OP⊥AB，
∵k_OP=1，∴直線AB的斜率為定值-1．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．