Question

10．已知拋物線方程為y²=-4x，直線l的方程為2x+y-4=0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)A，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為m，點(diǎn)A到直線l的距離為n，則m+n的最小值為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$-1．

Answer 1

分析 點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離，從而A到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離減1，過焦點(diǎn)F作直線2x+y-4═0的垂線，此時(shí)m+n=|AF|+n-1最小，根據(jù)拋物線方程求得F，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求得m+n的最小值．

解答 解：由題意，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離，
從而A到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離減1．
過焦點(diǎn)F作直線2x+y-4═0的垂線，此時(shí)m+n=|AF|+n-1最小，
∵F（-1，0），則|AF|+n=$\frac{|-2+0-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
則m+n的最小值為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$-1．
故答案為：$\frac{6\sqrt{5}}{5}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．