1．{an}中，a1=1，an+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，證明{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求{an}通項公式．

分析 a1=1，an+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，利用等差數(shù)列的定義及其通項公式即可得出．

解答 證明：∵a1=1，an+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項為1，公差為$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+2}{3}$，
解得an=$\frac{3}{n+2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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