Question

【題目】已知橢圓的右焦點，過的直線交橢圓于、兩點，且是線段的中點．

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知是橢圓的左焦點，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)、，代入橢圓的方程，兩式相減，根據(jù)線段的中點坐標(biāo)為，求出斜率，進而可得、的關(guān)系，根據(jù)右焦點為，求出、的值，即可得出橢圓的離心率；

（2）直線的方程為，橢圓的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，化為關(guān)于的一元二次方程，求出以及點到直線的距離，即可得出的面積．

（1）設(shè)、，由于直線的中點坐標(biāo)為，

則，可得，

將、兩點坐標(biāo)代入橢圓的方程，得，

兩式相減得，即，

，所以直線的斜率為，

而直線的斜率為，，

橢圓的右焦點為，，，

因此，橢圓的離心率為；

（2）直線的方程為，橢圓的方程為，

聯(lián)立直線與橢圓的方程得，

化為，由韋達定理得，

，

點到直線的距離．

因此，的面積．