Question

3．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點(diǎn)P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則使得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$≥1的概率為$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 將矩形放在坐標(biāo)系中，設(shè)P（x，y）利用向量的數(shù)量積公式，作出對(duì)應(yīng)的區(qū)域，求出對(duì)應(yīng)的面積即可得到結(jié)論．

解答 解：將矩形放在坐標(biāo)系中，設(shè)P（x，y），
則A（0，0），C（2，1），
則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$≥1等價(jià)為2x+y≥1，
作出不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域，為五邊形DCBE，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{1}{2}$，即E（$\frac{1}{2}$，0），
則△ADE的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$1=\frac{1}{4}$，
則五邊形DCBE的面積S=2-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$，
則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$≥1的概率P=$\frac{7}{8}$，
故答案為$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)關(guān)系，求出對(duì)應(yīng)區(qū)域面積，是解決本題的關(guān)鍵．