如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別是AC,PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:EF平面PCD;
(Ⅱ)若PA=AB,求EF與平面PAC所成角的大。
(Ⅰ)證明:如圖,連接BD,則E是BD的中點(diǎn).
又F是PB的中點(diǎn),
所以EFPD.
因?yàn)镋F不在平面PCD內(nèi),
所以EF平面PCD.(6分)
(Ⅱ)連接PE.
因?yàn)锳BCD是正方形,
所以BD⊥AC.
又PA⊥平面ABC,
所以PA⊥BD.
因此BD⊥平面PAC.
故∠EPD是PD與平面PAC所成的角.
因?yàn)镋FPD,
所以EF與平面PAC所成的角的大小等于∠EPD.
因?yàn)镻A=AB=AD,∠PAD=∠BAD=90°,
所以Rt△PAD≌Rt△BAD.
因此PD=BD.
在Rt△PED中,
sin∠EPD=
ED
PD
=
1
2
,
∠EPD=30°.
所以EF與平面PAC所成角的大小是30°.(14分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

空間四邊形ABCD的各邊與兩條對(duì)角線的長(zhǎng)都是1,點(diǎn)P在邊AB上移動(dòng),點(diǎn)Q在CD上移動(dòng),則點(diǎn)P與Q的最短距離為( 。
A.
1
2
B.
2
2
C.
3
4
D.
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

a,b是空間兩條不相交的直線,那么過(guò)直線b且平行于直線a的平面( 。
A.有且僅有一個(gè)B.至少有一個(gè)
C.至多有一個(gè)D.有無(wú)數(shù)個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖四棱錐P-ABCD中,ABCE為菱形,E、G、F分別是線段AD、CE、PB的中點(diǎn).求證:FG平面PDC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD,E是棱PA的中點(diǎn).
(1)求證:PC平面EBD;
(2)求三棱錐P-EBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E為AB的中點(diǎn),現(xiàn)將△AED沿DE折起,使點(diǎn)A到點(diǎn)P處,滿(mǎn)足PB=PC,設(shè)M、H分別為PC、DE的中點(diǎn).
(1)求證:BM平面PDE;
(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)N,使BC⊥平面PHN?試證明你的結(jié)論;
(3)求△PBC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=
2
,AF=1
,M是線段EF的中點(diǎn).
(1)證明:CM平面DFB
(2)求異面直線AM與DE所成的角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖:已知四邊形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是線段PB,AD的中點(diǎn)
(1)求證:FE平面PCD;
(2)求異面直線DE與AB所成的角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中點(diǎn).
(1)求證:BD1平面ACE
(2)過(guò)直線BD1是否存在與平面ACE平行的平面,若存在,請(qǐng)作出這個(gè)平面與長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的交線(請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上用黑色碳素筆和直尺作圖),并證明這兩個(gè)平面平行;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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