Question

19．在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{3}$，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且AP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），則$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ的最大值為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，分別求得A，B，C和D點(diǎn)坐標(biāo)，由P點(diǎn)滿足約束條件，由x+y=$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ，即可求得$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ的最大值．

解答 解：如圖，設(shè)P（x，y），B（$\sqrt{5}$，0），C（$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$），D（0，$\sqrt{3}$），
∵AP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，

∴x²+y²=$\frac{5}{4}$，
點(diǎn)P滿足的約束條件為：$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\sqrt{5}}\\{0≤y≤\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），
∴（x，y）=λ（$\sqrt{5}$，0）+μ（0，$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}λ}\\{y=\sqrt{3}μ}\end{array}\right.$，
∴x+y=$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ，
∵x+y≤$\sqrt{2}$（x²+y²）=$\sqrt{2×\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，
∴$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ=x+y的最大值為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題．