分析 (1)由題意可知:n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn,則$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=2$\frac{{S}_{n}}{n}$,則數(shù)列$\{\frac{S_n}{n}\}$是以1為首項(xiàng),2為公比的公比的等比數(shù)列;
(2)由(1)可知:Sn=n•2n-1,Tn=S1+S2+…+Sn=1•20+2•21+…+n•2n-1,則2Tn=1•21+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n,兩式相減即可求得:Tn=(n-1)•2n+1,利用作差法(n+l) Tn-nSn+1=(n+1)(1-2n)<0,即可證明(n+l) Tn<nSn+1.
解答 (1)證明:由題意可知:nan+1=(n+2)Sn,則:n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn,
∴nSn+1=(n+1)Sn,即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=2$\frac{{S}_{n}}{n}$,
由$\frac{{S}_{1}}{1}$=1,
∴數(shù)列$\{\frac{S_n}{n}\}$是以1為首項(xiàng),2為公比的公比的等比數(shù)列;
(2)證明:由(1)可知:$\frac{{S}_{n}}{n}$=1•2n-1=2n-1,則Sn=n•2n-1,
Tn=S1+S2+…+Sn,
∴Tn=1•20+2•21+…+n•2n-1,
則2Tn=1•21+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n,
兩式相減可得:-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n,
=$\frac{1(1-{2}^{n})}{1-2}$-n•2n,
=2n-1-n•2n,
=(1-n)•2n-1,
Tn=(n-1)•2n+1,
(n+l) Tn-nSn+1=(n2-1)2n+(n+1)-n(n+1)2n=(n+1)(1-2n),
由n∈N*,
∴n+1>0,1-2n<0,
∴(n+1)(1-2n)<0,
∴(n+l) Tn<nSn+1.
點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的證明,等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,考查“錯位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查作差法比較多項(xiàng)式的大小,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 96個 | B. | 108個 | C. | 120個 | D. | 216個 |
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A. | $\frac{20}{3}$ | B. | $\frac{42}{5}$+2$\sqrt{2}$ | C. | $\frac{136}{15}$ | D. | $\frac{27}{5}$+2$\sqrt{2}$ |
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A. | 1+$\sqrt{2}$ | B. | 1-$\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{2}$-1 | D. | 1 |
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