Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C₁：（x-1）²+y²=2，圓C₂：（x-m）²+（y+m）²=m²．圓C₂上存在點P滿足：過點P向圓C₁作兩條切線PA，PB，切點為A，B，△ABP的面積為1，則正數(shù)m的取值范圍是[1，$3+2\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 設(shè)圓C₂上點P，利用直角三角形中的射影定理把AG，PG用PC₁表示，從而用PC₁表示三角形PAB的面積，由面積為1求出PC₁的值，再由PC₁的范圍列關(guān)于m的不等式組求解．

解答 解：如圖，由圓C₁：（x-1）²+y²=2，圓C₂：（x-m）²+（y+m）²=m²，
得C₁（1，0），C₂（m，-m），
設(shè)圓C₂上點P，則PA²=PG•PC₁，
而$P{A}^{2}=P{{C}_{1}}^{2}-2$，
∴$P{{C}_{1}}^{2}-2=PG•P{C}_{1}$，則$PG=\frac{P{{C}_{1}}^{2}-2}{P{C}_{1}}$，
$AG=\sqrt{P{A}^{2}-P{G}^{2}}=\sqrt{P{{C}_{1}}^{2}-2-（\frac{P{{C}_{1}}^{2}-2}{P{C}_{1}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2P{{C}_{1}}^{2}-4}}{P{C}_{1}}$，
∴${S}_{△PAB}=2•\frac{1}{2}•\frac{P{{C}_{1}}^{2}-2}{P{C}_{1}}•\frac{\sqrt{2P{{C}_{1}}^{2}-4}}{P{C}_{1}}$=$\frac{（P{{C}_{1}}^{2}-2）\sqrt{2P{{C}_{1}}^{2}-4}}{P{{C}_{1}}^{2}}$=1．
令$\sqrt{2P{{C}_{1}}^{2}-4}=t（t≥0）$，
得t³-t²-4=0，解得：t=2．
即$\sqrt{2P{{C}_{1}}^{2}-4}=2$，∴PC₁=2．
圓C₂：（x-m）²+（y+m）²=m²上點P到C₁距離的最小值為|C₁C₂|-m=$\sqrt{（m-1）^{2}+（-m）^{2}}$-m，
最大值為|C₁C₂|+m=$\sqrt{（m-1）^{2}+（-m）^{2}}$+m，
由$\sqrt{（m-1）^{2}+（-m）^{2}}$-m≤2≤$\sqrt{（m-1）^{2}+（-m）^{2}}$+m，
得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（m-1）^{2}+{m}^{2}}-m≤2①}\\{\sqrt{（m-1）^{2}+{m}^{2}}+m≥2②}\end{array}\right.$，
解①得：$3-2\sqrt{3}≤m≤3+2\sqrt{3}$，
解②得：m≤-3或m≥1．
取交集得：1$≤m≤3+2\sqrt{3}$．
∴正數(shù)m得取值范圍是[1，$3+2\sqrt{3}$]．
故答案為：[1，$3+2\sqrt{3}$]．

點評 本題考查圓的切線方程，考查了圓的切線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查計算能力，難度較大．