已知函數,如果函數恰有兩個不同的極值點,,且.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)求的最小值,并指出此時的值.
(Ⅰ);(Ⅱ).
解析試題分析:(Ⅰ)因為 函數恰有兩個不同的極值點,,即有兩個零點,,則
方程有兩個不同的零點,,構造函數,求導,
當時,,是減函數;當時,,是增函數,所以在時取得最小值.∴.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即,所以 ,
于是,所以,,所以.所以 當時,,是減函數;當時,,是增函數,所以在上的最小值為,此時.
試題解析:(Ⅰ)∵ 函數恰有兩個不同的極值點,,即有兩個零點,
∴ 方程有兩個不同的零點,
令.
,
當時,,是減函數;
當時,,是增函數,
∴在時取得最小值.
∴.
(Ⅱ)∵,即,
∴
于是,
∴
∵,
∴.
∴ 當時,,是減函數;
當時,,是增函數
∴在上的最小值為,此時.
考點:1.函數中證明問題;3.函數與不等式的綜合應用.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
湖北省第十四屆運動會紀念章委托某專營店銷售,每枚進價5元,同時每銷售一枚這種紀念章需向荊州籌委會交特許經營管理費2元,預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚,經過市場調研發(fā)現每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚,而每增加一元則減少銷售100枚,現設每枚紀念章的銷售價格為元,為整數.
(1)寫出該專營店一年內銷售這種紀念章所獲利潤(元)與每枚紀念章的銷售價格(元)的函數關系式(并寫出這個函數的定義域);
(2)當每枚紀念章銷售價格為多少元時,該特許專營店一年內利潤(元)最大,并求出最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻,且表面積為2m2的正四棱錐形有蓋容器(如下圖)。設容器高為m,蓋子邊長為m,
(1)求關于的解析式;
(2)設容器的容積為V m3,則當h為何值時,V最大? 并求出V的最大值(求解本題時,不計容器厚度).
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
集合A是由適合以下性質的函數構成的:對于定義域內任意兩個不相等的實數,都有.
(1)試判斷=及是否在集合A中,并說明理由;
(2)設ÎA且定義域為(0,+¥),值域為(0,1),,試寫出一個滿足以上條件的函數的解析式,并給予證明.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
對于函數若存在,使得成立,則稱為的不動點.
已知
(1)當時,求函數的不動點;
(2)若對任意實數,函數恒有兩個相異的不動點,求的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若圖象上、兩點的橫坐標是函數的不動點,且、兩點關于直線對稱,求的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某分公司經銷某種品牌產品,每件產品的成本為30元,并且每件產品須向總公司繳納a元(a為常數,2≤a≤5)的管理費,根據多年的統(tǒng)計經驗,預計當每件產品的售價為x元時,產品一年的銷售量為(e為自然對數的底數)萬件,已知每件產品的售價為40元時,該產品一年的銷售量為500萬件.經物價部門核定每件產品的售價x最低不低于35元,最高不超過41元.
(Ⅰ)求分公司經營該產品一年的利潤L(x)萬元與每件產品的售價x元的函數關系式;
(Ⅱ)當每件產品的售價為多少元時,該產品一年的利潤L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
參考公式:為常數.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知某公司生產品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產千件,須另投入2.7萬元,設該公司年內共生產品牌服裝千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為萬元,且.
(1)寫出年利潤(萬元)關于年產量(千件)的函數解析式;
(2)當年產量為多少千件時,該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
統(tǒng)計表明:某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關于行駛速度(千米/每小時)的函數解析式可以表示為,已知甲、乙兩地相距100千米.
(1)當汽車以40千米/小時的速度行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?
(2)當汽車以多大速度行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
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