Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤α＜2π），$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求α的值；
（2）若兩個向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$垂直，求tanα．

Answer 1

分析 （1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，根據(jù)向量共線的坐標公式建立方程關系即可求α的值；
（2）若兩個向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$垂直，轉(zhuǎn)化為（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$）=0，利用向量數(shù)量積的坐標公式建立方程即可求tanα．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則-$\frac{1}{2}$sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα．
即tanα=-$\sqrt{3}$，
∵0≤α＜2π，∴α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{5π}{3}$；
（2）若兩個向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$垂直，
則（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$）=0，
即$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$²=0，
$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$²=0，
即$\sqrt{3}$-2（$-\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）-$\sqrt{3}$=0，
整理得$-\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=0，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=$\frac{1}{2}$cosα，
則tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查向量平行和垂直的應用，根據(jù)相應的坐標公式結(jié)合向量數(shù)量的和向量垂直的關系建立方程是解決本題的關鍵．