Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)在同一半周期內(nèi)的圖象過點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，為函數(shù)的圖象與軸的正半軸的交點(diǎn)．

（Ⅰ）試判斷的形狀，并說明理由．

（Ⅱ）若將繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角時(shí)，頂點(diǎn)恰好同時(shí)落在曲線上（如圖所示），求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

（Ⅰ）為等邊三角形; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ） 因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的半周期為4，

所以． 又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601262724596879_DA/SYS201504080601262724596879_DA.007.png">為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以， 又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601262724596879_DA/SYS201504080601262724596879_DA.012.png">坐標(biāo)為，所以，所以為等邊三角形． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,，代入，得，且， 所以，即可求出結(jié)果.解法二：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的半周期為4，所以， 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601262724596879_DA/SYS201504080601262724596879_DA.028.png">為函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以． 又因?yàn)橹本�的斜率，所以，所以為等邊三角形．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,，

因?yàn)辄c(diǎn),在函數(shù)的圖象上， 所以,可得，所以，進(jìn)而求出結(jié)果.解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，為等邊三角形．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱， 由圖象可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn),恰在函數(shù)的圖象上． 此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 所以，所以所求的實(shí)數(shù)的值為4．

試題解析：解法一：（Ⅰ）為等邊三角形． 1分

理由如下：

因?yàn)楹瘮?shù)，

所以，所以函數(shù)的半周期為4，

所以． 2分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601262724596879_DA/SYS201504080601262724596879_DA.007.png">為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，

所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以， 4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601262724596879_DA/SYS201504080601262724596879_DA.012.png">坐標(biāo)為，所以，

所以為等邊三角形． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

所以點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,， 7分

代入，得，

且， 9分

所以，結(jié)合，，

解得， 11分

所以，所以所求的實(shí)數(shù)的值為4． 12分

解法二：（Ⅰ）為等邊三角形． 1分

理由如下：

因?yàn)楹瘮?shù)，

所以，所以函數(shù)的半周期為4，所以， 2分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601262724596879_DA/SYS201504080601262724596879_DA.028.png">為函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)，

所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以． 4分

又因?yàn)橹本�的斜率，所以，

所以為等邊三角形． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

所以點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,， 7分

因?yàn)辄c(diǎn),在函數(shù)的圖象上，

所以, 8分

所以, 9分

消去得， ，

所以，

所以，所以， 10分

又因?yàn)?，所以，所以， 11分

所以．所以所求的實(shí)數(shù)的值為4． 12分

解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，為等邊三角形．

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱， 8分

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn),恰在函數(shù)的圖象上． 10分

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 11分

所以，所以所求的實(shí)數(shù)的值為4． 12分.

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)；2.數(shù)形結(jié)合思想.