17.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2.
(1)求證:AB1⊥BC1;
(2)求AB的中點(diǎn)E到平面AB1C1的距離.

分析 (1)以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明AB1⊥BC1
(2)求出平面AB1C1的法向量和$\overrightarrow{AE}$,利用向量法能求出AB的中點(diǎn)E到平面AB1C1的距離.

解答 證明:(1)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2,
∴以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),B(0,2,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(-2,2,2),$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(0,-2,2),
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$$•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0-4+4=0,
∴AB1⊥BC1
解:(2)AB的中點(diǎn)E(1,1,0),
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(-2,2,2),$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=(-2,0,2),$\overrightarrow{AE}$=(-1,1,0),
設(shè)平面AB1C1的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-2x+2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,0,1),
∴AB的中點(diǎn)E到平面AB1C1的距離:
d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明,考查點(diǎn)到平面的距離的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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