Question

11．對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若任給x₀∈D，均有f（x₀）∈D，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上封閉．
（1）試判斷f（x）=x-1在區(qū)間[-2，1]上是否封閉，并說明理由；
（1）若函數(shù)g（x）=$\frac{3x+a}{x+1}$在區(qū)間[3，10]上封閉，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知a＜b，是否存在a，b，使函數(shù)h（x）=|1-$\frac{1}{x}$|在區(qū)間[a，b]上封閉？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=x-1在區(qū)間[-2，1]上是增函數(shù)求出在[-2，1]上的值域，不滿足在區(qū)間上封閉的概念；
（2）把給出的函數(shù)g（x）=$\frac{3x+a}{x+1}$變形為3+$\frac{a-3}{x+1}$，分a=3，a＞3，a＜3三種情況進(jìn)行討論，利用函數(shù)在區(qū)間[3，10]上封閉列式求出a的取值范圍；
（3）假設(shè)h（x）=|1-$\frac{1}{x}$|在區(qū)間[a，b]上封閉，作出函數(shù)h（x）的圖象，討論a，b的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）f（x）=x-1在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）的值域?yàn)閇-3，0]
而[-3，0]?[-2，1]，所以f（x）在區(qū)間[-2，1]上不是封閉的；
（2）因?yàn)間（x）=$\frac{3x+a}{x+1}$=3+$\frac{a-3}{x+1}$，
①當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)g（x）的值域?yàn)閧3}⊆[3，10]，適合題意．
②當(dāng)a＞3時(shí)，函數(shù)g（x）=3+$\frac{a-3}{x+1}$在區(qū)間[3，10]上單調(diào)遞減，故它的值域?yàn)?[\frac{30+a}{11}，\frac{9+a}{4}]$，
由$[\frac{30+a}{11}，\frac{9+a}{4}]$⊆[3，10]，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{30+a}{11}≥3}\\{\frac{9+a}{4}≤10}\end{array}\right.$，解得3≤a≤31，故3＜a≤31．
③當(dāng)a＜3時(shí)，在區(qū)間[3，10]上有$g（x）=\frac{3x+a}{x+1}=3+\frac{a-3}{x+1}＜3$，顯然不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是3≤a≤31；
（3）作出函數(shù)h（x）=|1-$\frac{1}{x}$|的圖象如圖，則h（x）≥0，
當(dāng)b＜0時(shí)，定義域?yàn)閇a，b]，則不滿足條件，
函數(shù)h（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
則必有a＞0，
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)h（x）在[a，b]上為增函數(shù)，
此時(shí)h（b）=|1-$\frac{1}$|=1-$\frac{1}$＜1，此時(shí)函數(shù)的值域[f（a），f（b）]?[a，b]，此時(shí)不滿足條件．
若0＜a＜1，b＞1，此時(shí)函數(shù)在[a，b]上的最小值為h（1）=0，而a＞0，此時(shí)不滿足條件．
若0＜a＜b＜1，此時(shí)函數(shù)h（x）在[a，b]上為減函數(shù)，
則函數(shù)的值域?yàn)閇f（b），f（a）]，即函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{1}$-1，$\frac{1}{a}$-1]，
若[$\frac{1}$-1，$\frac{1}{a}$-1]⊆[a，b]，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}-1≥a}\\{\frac{1}{a}-1≤b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}≥a+1}\\{\frac{1}{a}≤b+1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}≤-a-1}\\{\frac{1}{a}≤b+1}\end{array}\right.$，則$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$≤b-a，
即$\frac{b-a}{ab}$≤b-a，則$\frac{1}{ab}$≤1，則ab≥1，與0＜a＜b＜1，ab＜1矛盾，
綜上不存在a，b，使函數(shù)h（x）=|1-$\frac{1}{x}$|在區(qū)間[a，b]上封閉．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思想方法，解答此題的關(guān)鍵是正確分類，因該題需要較細(xì)致的分類，綜合性較強(qiáng)，難度較大．