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10.(1)若a、b、m、n∈R+,求證:m2a+n2m+n2a+b;
(2)利用(1)的結(jié)論,求下列問題:已知x012,求2x+912x的最小值,并求出此時(shí)x的值.

分析 (1)a、b、m、n∈R+,可得(a+b)m2a+n2=m2+n2+bm2a+an2,再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
(2)x012,2x+912x=222x+3212x2+322x+12x,即可得出.

解答 (1)證明:∵a、b、m、n∈R+,∴(a+b)m2a+n2=m2+n2+bm2a+an2≥m2+n2+2mn=(m+n)2,當(dāng)且僅當(dāng)bm=an時(shí)取等號(hào),∴m2a+n2m+n2a+b
(2)x0122x+912x=222x+3212x2+322x+12x=25,當(dāng)且僅當(dāng)2(1-2x)=3•2x,即當(dāng)x=15時(shí)取得最小值,最小值為25.

點(diǎn)評 本題考查了不等式的性質(zhì)與解法、方程的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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