【題目】已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點(diǎn)分別為P,Q,R,|CP|=2,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線G.

1)求曲線G的方程;

2)設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)D在曲線G上,是坐標(biāo)原點(diǎn),判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1.2)四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.

【解析】

1)根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得,由此判斷出點(diǎn)的軌跡為橢圓,并由此求得曲線的方程.

2)將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況,求出平行四邊形的面積,兩種情況下四邊形的面積都為,由此證得四邊形的面積為定值.

1)因?yàn)閳AE為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|

所以點(diǎn)C的軌跡為以點(diǎn)A和點(diǎn)B為焦點(diǎn)的橢圓(點(diǎn)不在軸上),

所以c,a=2,b,

所以曲線G的方程為,

2)因?yàn)?/span>,故四邊形為平行四邊形.

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),則四邊形為為菱形,

故直線MN的方程為x=﹣1x=1,

此時(shí)可求得四邊形OMDN的面積為.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l方程是y=kx+m,

代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m24=0,

x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2m2)>0,

y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|

點(diǎn)O到直線MN的距離d,

,得xD,yD

∵點(diǎn)D在曲線C上,所以將D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得1+2k2=2m2,

由題意四邊形OMDN為平行四邊形,

OMDN的面積為S,

1+2k2=2m2S,

故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.

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30歲以下

30歲以上

合計(jì)

闖紅燈

60

未闖紅燈

80

合計(jì)

200

近期,為了整頓“行人闖紅燈”這一不文明及項(xiàng)違法行為,交警部門在該十字路口試行了對(duì)闖紅燈行人進(jìn)行經(jīng)濟(jì)處罰,并從試行經(jīng)濟(jì)處罰后穿越該路口行人中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查,得到下表:

處罰金額(單位:元)

5

10

15

20

闖紅燈的人數(shù)

50

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20

0

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(Ⅲ)結(jié)合調(diào)查結(jié)果,談?wù)勅绾沃卫硇腥岁J紅燈現(xiàn)象.

參考公式: ,其中

參考數(shù)據(jù):

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.132

2.072

2.706

3.841

5.024

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