Question

【題目】【2018屆北京市海淀區(qū)】如圖，三棱柱側(cè)面底面，

， 分別為棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求三棱柱的體積；

（Ⅲ）在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）在直線上存在點(diǎn)，使得平面，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目中的側(cè)面底面， 由條件知底面， ；（3）連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交，設(shè)交點(diǎn)為，證線線平行即，進(jìn)而得到線面平行。

解析：

（Ⅰ）證明：三棱柱中，

側(cè)面底面， ，

又因?yàn)閭?cè)面底面， 底面，

所以平面，又因?yàn)?/span>平面，

所以；

（Ⅱ）連接 ,因?yàn)槿�棱�?/span>中，所以.

因?yàn)?/span>，所以.又因?yàn)?/span>，且.

所以△是邊長(zhǎng)為2的正三角形.因?yàn)?/span>是棱的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>， ，所以.

因?yàn)?/span>， 底面，

所以底面.所以三棱柱的體積為

；

（Ⅲ）在直線上存在點(diǎn)，使得平面.

證明如下：連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交，設(shè)交點(diǎn)為.連接.

因?yàn)?/span>，所以，故

由于為棱的中點(diǎn)，所以，故有

又為棱的中點(diǎn)，故為的中位線，所以.

又平面， 平面，所以平面.

故在直線上存在點(diǎn)，使得平面.

此時(shí)， .