分析 (Ⅰ)由正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換化簡已知可得cosBsinC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB,
又sinC≠0,從而可求tanB=-$\sqrt{3}$,結(jié)合B為三角形內(nèi)角,即可得解B的值.
(Ⅱ)由D為邊AC的中點,可得2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$,兩邊平方,設(shè)|$\overrightarrow{BA}$|=c,|$\overrightarrow{BC}$|=a,可得4=a2+c2-ac,結(jié)合基本不等式的應(yīng)用可得ac的最大值,利用三角形面積公式即可得解.
解答 (本題滿分為12分)
解:(Ⅰ)∵a=bcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB,
∴由正弦定理可得:sinA=sinBcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB,
∴sin(B+C)=sinBcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB,
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB,
∴cosBsinC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB,
又∵C為三角形內(nèi)角,可得sinC≠0,
∴tanB=-$\sqrt{3}$,
又∵B為三角形內(nèi)角,可得B=$\frac{2π}{3}$…(6分)
(Ⅱ)如圖,∵點D為邊AC的中點
∴2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$,
∴兩邊平方可得:4|$\overrightarrow{BD}$|2=|$\overrightarrow{BA}$|2+2|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•cos∠ABC+|$\overrightarrow{BC}$|2,…(9分)
又∵由(Ⅰ)知B=$\frac{2π}{3}$,
設(shè)|$\overrightarrow{BA}$|=c,|$\overrightarrow{BC}$|=a,
即:4=a2+c2-ac≥ac,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立),
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsin∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\sqrt{3}$.
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時,△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$.…(12分)
點評 本題主要考查了正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,考查了平面向量及其應(yīng)用,考查了基本不等式,三角形面積公式等知識在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (1,2) | B. | (1,$\sqrt{3}$) | C. | ($\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$) | D. | (2,2$\sqrt{2}$) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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