Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x）-2，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6，x∈（0，1]}\\{-{2}^{x-1}-5，x∈（1，2]}\end{array}\right.$，若x∈（-6，-4]時(shí)，關(guān)于x的方程af（x）-a²+2=0（a＞0）有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1．

Answer 1

分析 求出函數(shù)在x∈（-6，-4]的解析式，作出函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象，利用函數(shù)的取值范圍進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x）-2，
∴若x∈（-6，-4]時(shí)，則x+2∈（-4，-2]，x+4∈（-2，0]，若x+6∈（0，2]，
即若x∈（-6，-5]時(shí)，則x+2∈（-4，-3]，x+4∈（-2，-1]，若x+6∈（0，1]，
則f（x）=2+f（x+2）=4+f（x+4）=6+f（x+6）=6+（x+6）²-（x+6）-6=x²+11x+30，
若x∈（-5，-4]時(shí)，則x+2∈（-3，-2]，x+4∈（-1，0]，若x+6∈（1，2]，
則f（x）=2+f（x+2）=4+f（x+4）=6+f（x+6）=6-2^x+6-1-5=1-2^x+5，
由af（x）-a²+2=0（a＞0）得af（x）=a²-2，（a＞0）
即f（x）=a-$\frac{2}{a}$，（a＞0）
作出函數(shù)f（x）在x∈（-6，-4]的圖象如圖
在函數(shù)的值域?yàn)?1≤f（x）≤0，
由-1≤a-$\frac{2}{a}$≤0，得$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{2}{a}≥-1}\\{a-\frac{2}{a}≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a-2≥0}\\{{a}^{2}-2≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤1}\\{-\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
得$-\sqrt{2}$≤a≤1
∵a＞0，
∴0＜a≤1
故答案為：0＜a≤1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，求出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的對(duì)應(yīng)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．