Question

7．已知等比數(shù)列{a_n}滿足2（a₃+a₄）=2-a₁-a₂，則數(shù)列{a_n}前6項和的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項和為S_n．由2（a₃+a₄）=2-a₁-a₂，可得S₂=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$．則數(shù)列{a_n}前6項和=S₂（1+q²+q⁴）=$\frac{2{q}^{4}+2{q}^{2}+2}{2{q}^{2}+1}$，化簡利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項和為S_n．
∵2（a₃+a₄）=2-a₁-a₂，
∴2q²S₂=2-S₂，∴S₂=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$．
則數(shù)列{a_n}前6項和S₆=S₂（1+q²+q⁴）=$\frac{2{q}^{4}+2{q}^{2}+2}{2{q}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$$（2{q}^{2}+1+\frac{3}{2{q}^{2}+1}）$≥$\frac{1}{2}×2\sqrt{（2{q}^{2}+1）×\frac{3}{2{q}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)q²=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$時取等號．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．