Question

17．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點P是拋物線上橫坐標(biāo)為3的點，且P到拋物線焦點F的距離等于4．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，l₁與拋物線交于A、B兩點，l₂與拋物線交于C、D兩點，M、N分別是線段AB、CD的中點，求△FMN面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義列出方程求解即可．
（2）求出拋物線的焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，求出M、N的坐標(biāo)，然后求解三角形的面積，利用基本不等式求解三角形的面積的最小值即可．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為$x=-\frac{p}{2}$，（1分）
由題意，$3+\frac{p}{2}=4$，p=2．  …（4分）
所以所求拋物線的方程為y²=4x．   …（5分）
（2）F（1，0），由題意，直線l₁、l₂的斜率都存在且不為0，（1分）
設(shè)直線l₁的方向向量為（1，k）（k＞0），則（1，k）也是直線l₂的一個法向量，
所以直線l₁的方程為$\frac{x-1}{1}=\frac{y}{k}$，即y=k（x-1），…（2分）
直線l₂的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-1），即x+ky-1=0．  …（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0…（4分）
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$．$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{2}{k}$   …（5分）
同理$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}=1+2{k}^{2}$，$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{2}=-2k$．   …（6分）
所以，|MF|=$\sqrt{（1+\frac{2}{{k}^{2}}-1）^{2}+（{\frac{2}{k}-0）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{4}}}$，
|FN|=$\sqrt{（1+2{k}^{2}-1）^{2}+（-2k-0）^{2}}$=$\sqrt{4{k}^{4}+4{k}^{2}}$，
∴△FMN面積：$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{4}}}$•$\sqrt{4{k}^{4}+4{k}^{2}}$=2（k+$\frac{1}{k}$）≥4$\sqrt{k•\frac{1}{k}}$=4．    …（8分）
所以，當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{1}{k}$，即k=1時，△FMN的面積取最小值4． …（9分）

點評 本題考查拋物線方程的求法，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．