Question

8．方程（1+$\frac{1}{x}$）^x+1=（1+$\frac{1}{2009}$）²⁰⁰⁹的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 僅有一個(gè)
• B． 0
• C． 有限的（大于1個(gè)）
• D． 無(wú)窮多

Answer 1

分析 根據(jù)${（1+\frac{1}{x}）}^{x+1}$=${（\frac{x+1}{x}）}^{x+1}$=${（\frac{y+1}{y}）}^{y}$，得到當(dāng)且僅當(dāng)y=2009時(shí)，${（\frac{y+1}{y}）}^{y}$=${（\frac{2010}{2009}）}^{2009}$，從而求出x的值，得到答案．

解答 解：${（1+\frac{1}{x}）}^{x+1}$=$\frac{{（x+1）}^{x+1}}{{x}^{x+1}}$，
${（1+\frac{1}{2009}）}^{2009}$=$\frac{{2010}^{2009}}{{2009}^{2009}}$，
x＞0，即x∈N^*時(shí)，
∵$\frac{x+1}{x}$，$\frac{2010}{2009}$都是既約分?jǐn)?shù)，
∴對(duì)于任意正整數(shù)，x，x+1≠2009²⁰⁰⁹，
故原方程無(wú)解，
x=0或-1，顯然也不是方程的解，
當(dāng)x＜-1時(shí)，令y=-（x+1），
則${（1+\frac{1}{x}）}^{x+1}$=${（\frac{x+1}{x}）}^{x+1}$=${（\frac{y+1}{y}）}^{y}$，
當(dāng)且僅當(dāng)y=2009時(shí)，${（\frac{y+1}{y}）}^{y}$=${（\frac{2010}{2009}）}^{2009}$，
故原方程有唯一解x=-2010，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的存在性問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．