Question

10．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
①若sinA＞sinB，則B＞A；
②若△ABC最小內(nèi)角為α，則cosα≥$\frac{1}{2}$；
③存在某鈍角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a$\overrightarrow{BC}$+b$\overrightarrow{CA}$+c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow 0$，則△ABC的最小角小于$\frac{π}{6}$；
其中正確的命題是②④（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)正弦定理進行判斷即可；
②根據(jù)三角形的內(nèi)角關系以及余弦函數(shù)的取值范圍進行判斷；
③由兩角和的正切公式，推出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，從而推斷③；
④將$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，化簡整理運用不共線結論，得到2a=b=c，再運用余弦定理求出cosA，即可判斷．

解答 解：①若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，則A＞B；故①錯誤，
②若△ABC最小內(nèi)角為α，則α≤60°，即cosα≥$\frac{1}{2}$成立；故②正確，
③在斜三角形中，由tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-tanC，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由于tanA+tanB+tanC＞0，即tanAtanBtanC＞0，即A，B，C均為銳角，故③不正確；
④若2a$\overrightarrow{BC}$+b$\overrightarrow{CA}$+c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，即2a（$\overrightarrow{AC}-\overline{AB}$）$-b\overrightarrow{AC}+c\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$，即（2a-b）$\overrightarrow{AC}$=（2a-c）$\overrightarrow{AB}$，由于$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AB}$不共線，故2a-b=2a-c=0，即2a=b=c，由余弦定理得，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7}{8}$$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$，故最小角小于$\frac{π}{6}$，故④正確；
故答案為：②④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大．