Question

9．已知O、A、B是平面上的三點，直線AB上有一點C，滿足：2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示向量$\overrightarrow{OC}$；
（2）若|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2且向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角為$\frac{π}{3}$，求|$\overrightarrow{OC}$|．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件知A是BC中點，所以根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得到$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$，問題得以解決，
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則即可求出．

解答 解：（1）由2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$，A為BC中點，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$，
（2）由（1）知$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$，|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2且向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角為$\frac{π}{3}$
∴|$\overrightarrow{OC}$|²=|2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|²=4|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{OB}$|²-4|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos$\frac{π}{3}$=4+4-4×1×2×$\frac{1}{2}$=4，
∴|$\overrightarrow{OC}$|=2．

點評 本題考查了向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積的運算法則，屬于基礎題．