Question

12．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線上存在一點P到其焦點的距離為$\frac{3}{2}$，且點P在圓x²+y²=$\frac{9}{4}$上．
（1）求拋物線E的方程；
（2）直線l過拋物線E的焦點F，交拋物線E于A、B兩點，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線上存在一點P到其焦點的距離為$\frac{3}{2}$，且點P在圓x²+y²=$\frac{9}{4}$上，求出p，可求拋物線E的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入拋物線方程 得：y²-4my-4=0，利用$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，確定坐標之間的關(guān)系，求出m，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），則x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴x₀=$\frac{3}{2}$-$\frac{p}{2}$（2分）
∵點P在圓x²+y²=$\frac{9}{4}$上，∴（3-p）²+4p（3-p）=9，解得：p=2
∴拋物線的方程為y²=4x．（4分）
（2）解：設(shè)直線l的方程為x=my+1
代入拋物線方程 得：y²-4my-4=0（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，x₁+x₂=4m²+2
由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，得：（1-x₁，-y₁）=3（x₂-1，y₂）
即1-x₁=3（x₂-1），-y₁=3y₂（8分）
∴x₂=1-2m²，y₂=-2m（10分）
∴4m²=4-8m²，解得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線l的方程為$\sqrt{3}$x±y-$\sqrt{3}$=0．（12分）

點評 本小題主要考查向量坐標的應用、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．