Question

17．（1）如圖，在△ABC中，AD⊥AB，$\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}\overrightarrow{BD}，|\overrightarrow{AD}|=1$，求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$的值
 （2）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，求|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$|的最小值（本小題用兩種方法解答）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，利用三角恒等變換與正弦定理，即可求出$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$的值．
（2）解法一：根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點A、B、C和D的坐標(biāo)，設(shè)出點P，根據(jù)向量模的計算公式，利用完全平方式非負(fù)，即可求得其最小值；
解法二：設(shè)$\overrightarrow{DP}$=x$\overrightarrow{DC}$，得$\overrightarrow{PC}$=（1-x）$\overrightarrow{DC}$，表示出$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$，計算（$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$）²的最小值即可求出|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$|的最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|×|$\overrightarrow{AD}$|×cos∠∠CAD，
∵|$\overrightarrow{AD}$|=1，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|×cos∠CAD，
∵∠BAC=$\frac{π}{2}$+∠DAC，
∴cos∠CAD=sin∠BAC，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sin∠BAC}$，
變形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC=|BC|sinB=|BC|•$\frac{AD}{BD}$=$\sqrt{3}$BD•$\frac{AD}{BD}$=$\sqrt{3}$；
 （2）解法一：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）
設(shè)P（0，b）（0≤b≤a）
則$\overrightarrow{PA}$=（2，-b），$\overrightarrow{PB}$=（1，a-b），
∴$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$=（5，3a-4b），
∴|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{{5}^{2}{+（3a-4b）}^{2}}$≥5，
即當(dāng)3a=4b時，取得最小值5；
解法二：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，
$\overrightarrow{CB}$⊥$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DA}$∥$\overrightarrow{CB}$，
設(shè)$\overrightarrow{DP}$=x$\overrightarrow{DC}$，則$\overrightarrow{PC}$=（1-x）$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{DA}$-$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{DA}$-x$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CB}$=（1-x）$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB}$，
∴（$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$）²=[$\overrightarrow{DA}$+3$\overrightarrow{CB}$+（3-4x）$\overrightarrow{DC}$]²
=${\overrightarrow{DA}}^{2}$+9${\overrightarrow{CB}}^{2}$+（3-4x）²${\overrightarrow{DC}}^{2}$+6$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{CB}$+2（3-4x）$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$+6（3-4x）$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{DC}$，
∵$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{CB}$=2，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{DC}$=0，
∴（$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$）²=25+（3-4x）²${\overrightarrow{DC}}^{2}$，
當(dāng)3-4x=0時，（$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$）²_min=25，
∴|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$|_min=5．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了誘導(dǎo)公式和正弦定理的運(yùn)用問題，也考查了一題多解的問題，是綜合性題目．