Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-alnx-\frac{1}{3}（a∈R，a≠0）$．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
（3）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=3代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，直接利用直線方程的點(diǎn)斜式寫直線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)可知，當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域（0，+∝）上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值，當(dāng)a＞0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值．
（3）對(duì)任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0恒成立，只需對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．分類討論，求出最小值，即可求a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)a=3時(shí)，$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-3lnx-\frac{1}{3}，f（1）=0$
∴${f^/}（x）={x^2}-\frac{3}{x}$，∴f′（1）=-2，切點(diǎn)為（1，0）
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-0=（-2）×（x-1），即 2x+y-2=0．
（2）${f^/}（x）={x^2}-\frac{a}{x}=\frac{{{x^3}-a}}{x}（x＞0）$，
①當(dāng)a＜0時(shí)，${f^/}（x）=\frac{{{x^3}-a}}{x}＞0$恒成立，∴函數(shù)y=f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)遞減區(qū)間，無(wú)極值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得$x=\root{3}{a}或x=-\root{3}{a}（舍）$x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	$（0，\root{3}{a}）$	$\root{3}{a}$	$（\root{3}{a}，+∞）$
f′（x）	-	0	+
f（x）		極小值

∴函數(shù)y=f（x）的遞增區(qū)間為$（\root{3}{a}，+∞）$，遞減區(qū)間為$（0，\root{3}{a}）$，$f{（x）_{極小值}}=f（\root{3}{a}）=\frac{a-alna-1}{3}$．
綜上：當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)遞減區(qū)間，無(wú)極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的遞增區(qū)間為$（\root{3}{a}，+∞）$，遞減區(qū)間為$（0，\root{3}{a}）$，$f{（x）_{極小值}}=f（\root{3}{a}）=\frac{a-alna-1}{3}$．
（3）對(duì)任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0恒成立，只需對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．
①當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{3}-aln1-\frac{1}{3}=0$，∴a＜0滿足題意；
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，$0＜\root{3}{a}≤1$，函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{3}-aln1-\frac{1}{3}=0$，∴0＜a≤1滿足題意；
③當(dāng)a＞1時(shí)，$\root{3}{a}＞1$，函數(shù)y=f（x）在$（1，\root{3}{a}）$上是減函數(shù)，在$（\root{3}{a}，+∞）$上是增函數(shù)，
∴$f{（x）_{min}}=f（\root{3}{a}）=\frac{a-alna-1}{3}＜f（1）=0$，∴a＞1不滿足題意．
綜上，a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問(wèn)題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．