Question

16．己知函數(shù)$f（x）=xlnx-\frac{a}{2}{x^2}$（a∈R），
（Ⅰ） 若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+b=0，求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ） 若函數(shù)f（x）≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，利用函數(shù)在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+b=0列式求得a，b的值；
（Ⅱ）把f（x）≤0恒成立轉化為a≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立，構造函數(shù)g（x）=$\frac{2lnx}{x}$，利用導數(shù)求其最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²，
得f′（x）=lnx-ax+1，
∵切線方程為x+y+b=0，
∴f′（1）=1-a=-1，即a=2．
又f（1）=-$\frac{a}{2}$=-1，可得切點為（1，-1），代入切線方程得b=0；
（Ⅱ） f（x）≤0恒成立等價于a≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立，即a≥（ $\frac{2lnx}{x}$）_max，
設g（x）=$\frac{2lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，e）時，g′（x）＞0；
當x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0．
∴當x=e時，g（x）_max=$\frac{2}{e}$，即a≥$\frac{2}{e}$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，重點考查了數(shù)學轉化等數(shù)學思想方法．