Question

求函數(shù)f（x）=sinx+cosx+1，x∈（0，2π）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出函數(shù)的單調(diào)求解以及函數(shù)的極值．

解答： 解：f（x）=sinx+cosx+1=1+

2

sin（x+

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，0＜x≤

π

4

，
當(dāng)k=1時(shí)，

5π

4

≤x＜2π，即函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，

π

4

]和[

5π

4

，2π），
2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
即2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，

π

4

≤x≤

5π

4

，
即函數(shù)的遞減區(qū)間為[

π

4

，

5π

4

]，
當(dāng)x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

4

，
則當(dāng)k=0時(shí)，x=

π

4

此時(shí)函數(shù)取得極大值1+

2

，
當(dāng)x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=2kπ+

3π

2

，
則當(dāng)k=0時(shí)，x=

3π

2

此時(shí)函數(shù)取得極小值1-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．