Question

(本題滿(mǎn)分14分)已知橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為.
（I） 求橢圓的方程；
（II） 設(shè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，在點(diǎn)處的切線(xiàn)與交于點(diǎn).當(dāng)線(xiàn)段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值.

Answer 1

（I）；（II）的最小值為1．

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
（1）因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為.，根據(jù)性質(zhì)得到橢圓的方程。
（2）不妨設(shè)則拋物線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為，直線(xiàn)MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即
結(jié)合判別式得到范圍和最值。
解：（I）由題意得所求的橢圓方程為，
（II）不妨設(shè)則拋物線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為，直線(xiàn)MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本�(xiàn)MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，
設(shè)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，
設(shè)線(xiàn)段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；
當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．