Question

14．若函數(shù)$f（x）=\frac{{a{x^2}+4}}{bx}$，且f（1）=5，f（2）=4．
（1）求a，b的值，寫出f（x）的表達式；
（2）求證f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 本題屬于函數(shù)章節(jié)基礎(chǔ)題型．第1題直接代入f（1）=5，f（2）=4列出方程組即可；第2題則可直接根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來證明．

解答 解：（1）由題意f（1）=5，f（2）=4知，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+4}=5}\\{\frac{4a+4}{2b}=4}\end{array}\right.$，⇒$\left\{\begin{array}{l}{a+2=3b}\\{4a+5=9b}\end{array}\right.$⇒a=1，b=1．
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$
（2）令2≤x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}^{2}+4}{{x}_{1}}-\frac{{x}_{2}^{2}+4}{{x}_{2}}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）-4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂ ≥4
∴f（x₁）-f（x₂）＜0⇒f（x₁）＜f（x₂）
∴得證 f（x） 在[2，+∞）上是增函數(shù)．

點評 利用函數(shù)單調(diào)性的定義來證明函數(shù)在特定區(qū)間上的單調(diào)性在學習過程中是必須要掌握的．