4.設(shè)P是棱長相等的四面體內(nèi)任意一點,則P到各個面的距離之和是一個定值,這個定值等于( 。
A.四面體的棱長B.四面體的斜高
C.四面體的高D.四面體兩對棱間的距離

分析 棱長相等的四面體是正四面體,設(shè)棱長為a,由P是正四面體內(nèi)的一點,知正四面體的體積等于四個三棱錐的體積和,由此能求出P到各個面的距離之和是一個定值,這個定值等于四面體的高.

解答 解:棱長相等的四面體是正四面體,設(shè)棱長為a,
∵P是正四面體內(nèi)的一點,∴正四面體的體積等于四個三棱錐的體積和,
設(shè)它到四個面的距離分別為m,n,p,q,
棱長為a的正四面體的四個面的面積都是S=$\frac{1}{2}$×a×a×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$.
又頂點到底面的投影在底面的中心,此點到底面三個頂點的距離都是高的$\frac{2}{3}$,
又高為a×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,
故底面中心到底面頂點的距離都是$\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
由此知頂點到底面的距離是$\sqrt{{a}^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$.
此正四面體的體積是$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$.
∴$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$(m+n+p+q),
解得m+n+p+q=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$.
∴P到各個面的距離之和是一個定值,這個定值等于四面體的高.
故選:C.

點評 正四面體內(nèi)任意一點到各個面的距離之和的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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