Question

4．設P是棱長相等的四面體內(nèi)任意一點，則P到各個面的距離之和是一個定值，這個定值等于（　�。�

• A． 四面體的棱長
• B． 四面體的斜高
• C． 四面體的高
• D． 四面體兩對棱間的距離

Answer 1

分析 棱長相等的四面體是正四面體，設棱長為a，由P是正四面體內(nèi)的一點，知正四面體的體積等于四個三棱錐的體積和，由此能求出P到各個面的距離之和是一個定值，這個定值等于四面體的高．

解答 解：棱長相等的四面體是正四面體，設棱長為a，
∵P是正四面體內(nèi)的一點，∴正四面體的體積等于四個三棱錐的體積和，
設它到四個面的距離分別為m，n，p，q，
棱長為a的正四面體的四個面的面積都是S=$\frac{1}{2}$×a×a×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$．
又頂點到底面的投影在底面的中心，此點到底面三個頂點的距離都是高的$\frac{2}{3}$，
又高為a×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
故底面中心到底面頂點的距離都是$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
由此知頂點到底面的距離是$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
此正四面體的體積是$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$．
∴$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$（m+n+p+q），
解得m+n+p+q=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∴P到各個面的距離之和是一個定值，這個定值等于四面體的高．
故選：C．

點評 正四面體內(nèi)任意一點到各個面的距離之和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．