Question

1．已知$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，直線mx+y+1=1恒過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為橢圓的右焦點(diǎn)，過F的直線l（l不與坐標(biāo)軸垂直）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，C為AB的中點(diǎn)，D為A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)．
（i）求證：直線OC與過點(diǎn)F且與l垂直的直線的交點(diǎn)在直線x=$\frac{5}{2}$上；
（ii）在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使B、D、T三點(diǎn)共線？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用直線mx+y+1=1恒過（0，-1），且為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，求出b，利用離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，求出a，c，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），聯(lián)立直線與橢圓方程，求出C的坐標(biāo)，可得直線OC的方程，求出過點(diǎn)F且與l垂直的直線的方程，聯(lián)立，即可證明結(jié)論；
（ii）求出直線BD的方程，令y=0，代入計(jì)算即可得出結(jié)論．

解答 （I）解：∵直線mx+y+1=0恒過（0，-1），且為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，
∴b=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴c=2，a=$\sqrt{5}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）（i）證明：由題意F（2，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），其中k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），則D（x₁，-y₁），
聯(lián)立直線與橢圓方程，整理得：（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
∴x₁+x₂=$\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=-$\frac{4k}{1+5{k}^{2}}$，
∵C為AB的中點(diǎn)，
∴C（$\frac{10{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，-$\frac{2k}{1+5{k}^{2}}$），
∴k_OC=-$\frac{1}{5k}$，
∴直線OC的方程為y=-$\frac{1}{5k}$x①，
∵過點(diǎn)F且與l垂直的直線的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-2）②
由①②可得直線OC與過點(diǎn)F且與l垂直的直線的交點(diǎn)在直線x=$\frac{5}{2}$上；
（ii）解：在x軸上存在定點(diǎn)T（$\frac{5}{2}$，0），使B、D、T三點(diǎn)共線．
由題意，直線BD的方程為y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
令y=0，可得x=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，
又y₁x₂+y₂x₁=2kx₁x₂-2k（x₁+x₂）=-$\frac{10k}{1+5{k}^{2}}$，y₁+y₂=-$\frac{4k}{1+5{k}^{2}}$，
∴x=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{5}{2}$，
∴在x軸上存在定點(diǎn)T（$\frac{5}{2}$，0），使B、D、T三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查定點(diǎn)坐標(biāo)的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)．