Question

13．A、B、O是拋物線E：y²=2px（p＞0）上不同三點，其中O是坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，直線AB交x軸于C點，D是線段OC的中點，以E上一點M為圓心、以|MD|為半徑的圓被y軸截得的弦長為d，下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． d＞|OC|＞2p
• B． d＜|OC|＜2p
• C． d=|OC|=2p
• D． d＜|OC|=2p

Answer 1

分析 設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠1，0），可得直線OB的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，直線方程分別與拋物線方程聯(lián)立可得A，B的坐標(biāo)．由直線AB的方程可得C（2p，0），D（p，0）．設(shè)M（x₀，y₀），可得d=2$\sqrt{M{D}^{2}-{x}_{0}^{2}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠1，0），則直線OB的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{2p}{{k}^{2}}，\frac{2p}{k}）$，同理可得B（2pk²，-2pk）．
∴直線AB的方程為：y+2pk=$\frac{\frac{2p}{k}+2pk}{\frac{2p}{{k}^{2}}-2p{k}^{2}}$（x-2pk²），化為：y+2pk=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2pk²），令y=0，解得x=2p，
∴C（2p，0），|OC|=2p．
D（p，0）．
設(shè)M（x₀，y₀），
則d=2$\sqrt{M{D}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=2$\sqrt{（{x}_{0}-p）^{2}+{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=2p．
綜上可得：d=|OC|=2p．
故選：C．

點評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、直線與圓相交弦長問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．