Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x-2．
（1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)m∈Z，當(dāng)x＞1時(shí)，不等式m•g（x+1）-x•f（x）＜x，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為m＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立，令p（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出整數(shù)m的最大值即可．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+2，定義域是（0，+∞），
∴h′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，
∴h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（2）由題意得：m＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立，
令p（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，則p′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令q（x）=x-lnx-2，（x＞1），
由（1）得：h（x）在（1，+∞）遞減，
∴q（x）=-h（x）在（1，+∞）遞增，
∵q（3）=1-ln3＜0，q（4）=2-2ln2＞0，
∴g（x）=0在（1，+∞）存在唯一實(shí)根x₀∈（3，4），
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，q（x）＜0，即p′（x）＜0，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，q（x）＞0，即p′（x）＞0，
∴p（x）在（1，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
∴[p（x）]_min=p（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+l{nx}_{0}）}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{x}_{0}（1{+x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4），
∴m＜[p（x）]_min=x₀∈（3，4），
故整數(shù)m的最大值是3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．