Question

已知f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)x3
（1）求f（x）的定義域；
（2）求證：f（x）＞0．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，得出分母 2^x-1≠0，求出x的取值范圍；
（2）判斷函數(shù)f（x）是定義域上的偶函數(shù)，再判斷x＞0時f（x）＞0，由f（x）是偶函數(shù)，得出x＜0時f（x）＞0．

解答： 解：（1）∵f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)x3，
∴2^x-1≠0，解得x≠0，
∴函數(shù)f（x）的定義域為 {x|x∈R，且 x≠0}；
（2）∵函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，
且f（-x）=（

1

2-x-1

+

1

2

）（-x）³
=（

2x

1-2x

+

1

2

）（-x）³ 
=（

2x-1+1

1-2x

+

1

2

）（-x）³
=（-1+

1

1-2x

+

1

2

）（-x）³
=-（

1

2x-1

+

1

2

）（-x）³
=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ =f（x），
∴函數(shù)f（x）為定義域上的偶函數(shù)；
又當(dāng)x＞0時，

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

，x³＞0，
∴函數(shù)f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ ＞0．
根據(jù)f（x）是定義域上的偶函數(shù)，
得x＜0時，函數(shù)f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ ＞0；
即x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，f（x）＞0．

點評：本題考查了求函數(shù)的定義域以及判斷函數(shù)的奇偶性和利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)正負的問題，是綜合性題目．