Question

下列命題：
①△ABC的三邊分別為a，b，c則該三角形是等邊三角形的充要條件為a²+b²+c²=ab+ac+bc；
②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件；
③若命題P：?x∈R，tanx=1；命題q：?x∈R，x²-x+1＞0，則命題“p且-q“是假命題；
④已知a₁，b₁，c₁，a₂，b₂，c₂都是不等于零的實數(shù)，關(guān)于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分別為P，Q，則

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是P=Q的充分必要條件；
⑤“函數(shù)f（x）=tan（x+ϕ）為奇函數(shù)”的充要條件是“ϕ=kπ（k∈Z）”．
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：對于①：顯然a=b=c能推出右邊，從右推左邊時，應將式子適當變形，能夠得到三數(shù)相等；
對于②：結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍及內(nèi)角和定理以及正弦函數(shù)的單調(diào)性可以判斷；
對于③：分別判斷兩個簡單命題的真假，進而根據(jù)復合命題真假判斷的真值表，可得結(jié)論；
對于④：舉個反例即可說明必要性不成立．
對于⑤：結(jié)合正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以判斷．

解答： 解：對于①：顯然必要性成立，反之若a²+b²+c²=ab+ac+bc，則2（a²+b²+c^2）=2（ab+ac+bc），整理得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，當且僅當a=b=c時成立故充分性成立，故①是真命題；
對于②：在三角形中，“A＞B”?“a＞b“?“2RsinA＞2RsinB“?“sinA＞sinB”，故②是真命題；
對于③：命題P：?x∈R，tanx=1為真，；命題q：?x∈R，x²-x+1＞0為真，則命題“p且-q“是假命題，故③是真命題；
對于④：實際上不等式x²+x+5＞0與x²+x+2＞0的解集都是R，但是

1

1

=

1

1

≠

5

2

，故不滿足必要性，故④是假命題．
對于⑤：“函數(shù)f（x）=tan（x+ϕ）為奇函數(shù)”的充要條件是“ϕ=

1

2

kπ（k∈Z）”，故⑤是假命題．
故正確的命題有：①②③，
故答案為：①②③．

點評：本題是簡易邏輯與其它知識的綜合考查，實際上已命題真假的判斷方法為手段考查相關(guān)的基礎(chǔ)知識，前提是必須熟練準確理解基本概念，掌握基本方法．