Question

2．已知函數(shù)f（x）在R上的導函數(shù)為f′（x），若f（x）＜f′（x）恒成立，且f（0）=2，則不等式f（x）＞2e^x的解集是（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，再根據(jù)f（0）=2，求得g（0）=2，繼而求出答案．

解答 解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）-f（x）＞0，于是有（$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$）′＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則有g(shù)（x）在R上單調(diào)遞增，
∵f（0）=2，∴g（0）=2，
∵不等式f（x）＞2e^x，
∴g（x）＞2=g（0），
∴x＞0，
故選：B．

點評 本題考查導數(shù)的運算及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項及已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．