Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知a、b∈R，a＞b＞e，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求證：b^a＞a^b．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）要證：b^a＞a^b只要證：alnb＞blna，只要證$\frac{lnb}＞\frac{lna}{a}$，由（1）得函數(shù)$f（\begin{array}{l}x\end{array}）$在$（\begin{array}{l}{e，+∞}\end{array}）$上是單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：$f（\begin{array}{l}x\end{array}）=\frac{lnx}{x}$，∴$f'（\begin{array}{l}x\end{array}）=\frac{1-lnx}{x^2}$
∴當(dāng)x＞e時，$f'（\begin{array}{l}x\end{array}）＜0$，∴函數(shù)$f（\begin{array}{l}x\end{array}）$在$（\begin{array}{l}{e，+∞}\end{array}）$上是單調(diào)遞減．
當(dāng)0＜x＜e時，$f'（\begin{array}{l}x\end{array}）＞0$，∴函數(shù)$f（\begin{array}{l}x\end{array}）$在（0，e）上是單調(diào)遞增．
∴f（x）的增區(qū)間是（0，e），減區(qū)間是$（\begin{array}{l}{e，+∞}\end{array}）$．…（6分）
（2）證明：∵b^a＞0，a^b＞0
∴要證：b^a＞a^b只要證：alnb＞blna
只要證$\frac{lnb}＞\frac{lna}{a}$．（∵a＞b＞e）
由（1）得函數(shù)$f（\begin{array}{l}x\end{array}）$在$（\begin{array}{l}{e，+∞}\end{array}）$上是單調(diào)遞減．
∴當(dāng)a＞b＞e時，有$f（\begin{array}{l}b\end{array}）＞f（\begin{array}{l}a\end{array}）$即$\frac{lnb}＞\frac{lna}{a}$．
∴b^a＞a^b…（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，屬于中檔題．